الدكتوره / نهى عبداللطيف الملا

nalmulla@uod.edu.sa

قسم الرياضيات-كلية العلوم-جامعة الدمام

دكتوراه في التحليل العددي عام 2010-شاركت في ثمان أبحاث منشورة بمجلات عالمية حول طرق حل المعادلات التفاضلية و تحديدا العشوائية، عملت مع مؤسسة الملك عبد العزيز و رجاله لرعاية الموهوبين بتقديم مادة تعليمية في البرامج الإثرائية الصيفية ،ثم التحكيم في مسار الابتكار للأولمبياد الوطني للإبداع العلمي ،حضرت برامج تدريبية مختلفة في أمريكا و بريطانيا و في جامعة الدمام ذات علاقة بمهارات التفكير و الكفايات التدريسية -عضو مجلس إدارة جمعية وميض النسائية الخيرية – تم تكليفها بمهام  أبرزها رئاسة نادي التدريب و التطوع ثم وكالة الشؤون الأكاديمية بكلية العلوم و عضوية لجان متعددة بجامعة الدمام ،لديها اهتمامات ثقافية و مجتمعية وشغف في مجال ربط أثر الدراسات الرياضية على الواقع.


المقالات هي جزء من مشروع طالبات السنة الأولى في قسم الرياضيات- مقرر نظرية المجموعات ،مراجعة د.نهى الملا

كلية العلوم-جامعة الدمام

The Math Book ,Clifford a. pickover,2009 ,sterling new york

1- أرخميدس: الرمال، الماشية والأحجية.

أرخميدس من سيراكيوز  ميناء في صقلية -ولد عام287 من قبل الميلاد.

في عام 1941 كتب العالم الرياضي هاردي ” سوف يُذكر أرخميدس عندما يُنسى إسخيلوس ‘كاتب مسرحي’ لأن اللغات تموت والأفكار الرياضية لا تموت. قد تبدو كلمة ‘الخلود’ سخيفة، ولكن لدى علماء الرياضيات أفضل الفرص لما يمكن أن يعنيهم على ذلك”.

في الواقع، يُعتبر أرخميدس، عالم الهندسة في اليونان القديمة، من أبرز  علماء الرياضيات وعلماء العصور الوسطى، و أحد الأربعة العظماء الذين وطئت أقدامهم الأرض مع إسحاق نيوتن، كارل فريدريك غاوس وليونارد أويلر. كان أرخميدس يرسل لزملائه أحيانا بعض النظريات الخاطئة كي يصطادهم عندما يسرقون أفكاره.

و بالإضافة إلى العديد من أفكاره الرياضية، اشتُهر بالتأمل في الأرقام الكبيرة والهائلة. و في كتابه ‘حساب الرمال’ قدّر أرخميدس أن 8X1063 من حبات الرمال سوف تملأ الكون. والأمر الأكثر إثارة للدهشة، أن الرقم 7,760271406486818269530232833213X10202544 هو حل لواحدة من أشهر نصوص أرخميدس ‘مسألة الماشية’ التي تتضمن حساب إجمالي عدد الأبقار في اللغز المتضمن  أربعة قطعان افتراضية بألوان مختلفة، وكتب أرخميدس أن أي شخص يستطيع أن يحل هذه المسائل سوف يتوج بتاج المجد و الحكمة، ولم يتم حل المسألة حتى عام 1880 بجواب تقريبي. ثم تم حساب عدد أكثر دقة عام 1965 من قِبل علماء الرياضيات الكنديين ويليمز و جيرمان و روبرت زارنكي باستخدام جهاز الحاسب آي بي ام 7040.

في عام 2003 وجد التاريخ الرياضي معلومة مفقودة من أحجية أرخميدس، و تحديدا في مخطوطات قديمة كتبت بواسطة بعض الرهبان منذ آلاف السنين، تصف أحجية أرخميدس لغز يتضمن التوافقيات و هي حقل في الرياضيات يتعامل مع الأعداد. وهدف الأحجية هو تحديد كم طريقة  يمكن بها تشكيل الأربعة عشر قطعة الموجودة في الشكل التالي لتُجمع مع بعض و تكوّن المربع. وفي نفس العام حدد أربعة من علماء الرياضيات أن الحل هو 17,152 طريقة.

سكينة الحاجي-ألاء الغامدي

——————————————————————————————————————————

2-معضلة السجناء

ميلفين دريشر ( ١٩١١-١٩٩٢ ) ، ميريل ميكس فلود ( ١٩٠٨ ) ، آلبرت ويليام تاكر ( ١٩٠٥-١٩٩٥ )

تخيلوا أن قاضيا يتعامل مع اثنين من السجناء، قابيل وهابيل المشتبه بهما في التسلل إلى حديقة ما، حيث لا توجد أدلة كافية لإدانة أي من المشتبه بهما.

إذا لم يعترف كلا المشتبه بهما فسيتوجب على القاضي أن يقلل التهم الموجهة لتصبح فقط تهمة التعدي على ممتلكات الغير ، وتكون عقوبتها أن يضعهما في الصحراء لمدة 6 أشهر فقط ثم يتم إطلاق سراحهما.

و إذا اعترف مشتبه واحد منهما فسيصبح حرا طليقا ، أما الاخر فسيحكم عليه بالزحف و أكل التربة لمدة ثلاثين سنة. من ناحية أخرى، إذا اعترف كلا المشتبه بهما فستخفض عقوبتهما الى 5 سنوات في السجن. يتواجد كل من قابيل وهابيل في زنزانة لوحده لذا لا يمكنهما التواصل مع بعضهما .

فماذا على قابيل وهابيل العمل يا ترى؟ قد يتراءى لأول وهلة أن حل هذه المعضلة مباشر.

وهو أن لا يعترف  قابيل و لا هابيل  وبالتالي سيتم الحكم عليهما بأقل عقوبة بتهمة التعدي على ممتلكات  الاخرين وهي التجول في الصحراء لمدة 6 أشهر.

و عموما فإنه من الممكن لو أراد قابيل التعاون فإن هابيل سيكون معرض للاعتراف وخيانة قابيل في  آخر اللحظات وبهذه الطريقة سيتحقق أفضل حل لهذه المعضلة وهي الحرية المطلقة.

تثبت المنهجية الهامة في نظرية الألعاب  ان هذا السيناريو سيقود كل من المشتبه بهما  ليعترفا حتى

لو وقعت عليهما عقوبة أشد من استراتيجية أن يتعاونا او يصمتا.

تكشف معضلة السجناء لنا الاختلاف بين ما هو الأفضل للفرد والأفضل للمجموعة حيث تم تحديد هذه المسألة  رسميا  عام 1950 من قبل ميلفين دريشر و  ميريل ميكس فلود .    قام آلبرت  ويليام  تاكر ببحث  المعضلة لفهم و تفسير  صعوبة تحليل الألعاب ذات المجموع غير الصفري و هي التي تتعلق بالمسائل التي لا يكون فوز الشخص فيه بالضرورة سببا لهزيمة شخص آخر، كما نتج عن مساهمة تاكر ظهور عدد     هائل من الأبحاث ذات العلاقة بمختلف  التخصصات التي يتراوح نطاقها من الفلسفة و الأحياء إلى علم   الاجتماع و العلوم السياسية و الاقتصاد.

مفاهيم ذات علاقة:

اللعبة: هي موقف يحتّم على اللاعبين (على الأقل اثنين)  اتخاذ قرار (Game theory)

نظرية الألعاب تسمى أيضاً نظرية المباراة، و هي تحليل رياضي لحالات تضارب المصالح بغرض الإشارة إلى  أفضل الخيارات الممكنة لاتخاذ قرارات في ظل الظروف المعطاة التي تؤدي إلى  الحصول على النتيجة         المرغوبة.

مسلمات ذات علاقة:

- للاعبون يتصرفون بعقلانية أي أنهم يحاولون جعل احتمال وقوع عملية دفع (أي تفوق أو ربح) أكثر احتمالا.

- اللاعبون يتصرفون استراتيجيا أي أنهم يحسبون أو يتنبّأون بحركة المنافس أو اللاعب الآخر و  يدخلونها        بالاعتبار في حساباتهم.

- مصطلح لعبة في نظرية الألعاب يعني بشكل خاص معضلة أو مسألة ما حيث ( ن ) من الأشخاص أو المجموعات  (اللاعبين)    يشتركون بمجموعة من القواعد والأنظمة التي تصنع الظروف و الأحداث و  التي تشكل بداية اللعبة.

المراجع الإضافية :

wikipedia

سارة الشهري-بيان الهويشل .

———————————————————————

3- نظرية معرض الفنون

Art Gallery Theorem (1973)

(Vàclav ChàtaI)1946, (Victor Klee)1925

تخيل أنك في قاعة معرض مضلّع الشكل لفنون باهظة الثمن ، إذا كان لنا تحديد مواقع الحرّاس في بعض أركان الغرفة (رؤوس المضلع)، فما هو أقل عدد ممكن من الحرّاس اللازم للتمكن من رؤية كامل القاعة الداخلية للمعرض المضلع في الوقت نفسه؟ بفرض أن الحراس يمكن أن يرون  كل الاتجاهات في آن واحد، لكن لا يمكنهم الرؤية  من خلال الجدران. كما أن تحديد مواقع الحراس في أركان المعرض يجب أن لا يحول دون رؤية أي شخص للوحات الفنية.

يمكن استكشاف المشكلة في البداية عن طريق رسم الغرف المضلّعة وتظليل خط الرؤية للحراس المتواجدين عند عدد من الرؤوس.

نظرية Chàtal’s لمعرض الفنون و التي سمّيت بعد ولادة عالم الرياضيات التشيكوسلوفاكي وعالم الكمبيوتر  ChvàtaI  Vàclav تنص على التالي: إذا احتوى معرض فني على العدد n  من الأركان، فإننا نحتاج على الأكثر   من الحرّاس في الأركان لمشاهدة المعرض كامل. والرمز  يشير إلى دالة الصحيح الرياضية التي تنتج أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي n/3.

لنفترض أن المضلع بسيط، وهو ما يعني أن جدران المعرض الفني لا تتقاطع وإنما تلتقي فقط عند نقاط نهاياتها.

في عام ١٩٧٣ طرح العالم الرياضي (Victor Klee)  سؤالا للعالم (Chvàtal ś)   حول العدد المطلوب من الحرّاس ،و الذي أثبت بعد فترة قصيرة أن المعرض الفني المضلّع  بحاجة إلى  فقط من الحرّاس لمشاهدة معرض فنّي مضلّع  جميع أركانه زوايا قائمة، و لذا فإن نوع  المعارض ذو ١٠ أركان يتطلب حارسين بدل من ثلاثة حرّاس.

اعتبر الباحثين مسألة معرض الفنون مع وجود حرّاس بإمكانهم التحرك بمسار خطوط مستقيمة  بدلا من البقاء في مواقع ثابتة، كما  تم التفكير في المسألة أيضاً في الأبعاد الثلاثة ومع وجود فجوات في الجدران.

كتب العالم (Norman Do) ” عندما طرح العالم (Victor Klee)  في البداية مسألة معرض الفنون ، كان لديه على الأرجح فكرة بسيطة أنها سوف تكون محفّزة لثورة من الأبحاث الهندسية لا تزال مستمرة لأكثر من ثلاثين سنة تالية،الساحة الآن ممتلئة بالتأكيد بمسائل مثيرة للاهتمام…”.

الشكل أعلاه يوضّح أن ثلاث حراس متواجدون في مواقع الكرات الكبيرة في الشكل أعلاه ،يمكنهم آنيا رؤية داخل غرفة مضلّعة ذات 11 رأسا

مريم عبد الله آل محمود – سارة علي الخالدي- زكية خالد الخالدي

———————————————————————

4- مبدأ بيت الحمام

يوهان بيتر غوستاف ليجون ديريتشليت (1805-1859)

قدم عالم الرياضيات الألماني يوهان ديريتشليت أول تقرير عن مبدأ بيت الحمام في عام 1834 رغم  إشارته إلى مبدأ بيت الحمام بالألمانية “schubfachprinzip  ” أنه “مبدأ الدُرج أو الرّف” .

استخدمت عبارة  “بيت الحمام” لأول مره بجدية في مجلة رياضية من خلال عالم الرياضيات رافائيل  روبينسون  ام. عام 1940م. وصيغتها ببساطة : اذا كان لدينا عدد (م) من بيوت الحمام وعدد (ن) من الحمام فإنه يمكننا التأكد أنه على الأقل هناك بيت واحد يحتوي على أكثر من حمامة واحدة اذا كان عدد الحمام أكبر من عدد بيوت الحمام .

تم استخدام هذا التأكيد البسيط في تطبيقات مختلفة تتراوح من ضغط البيانات في الكمبيوتر إلى مسائل تتضمن عدد غير منته من المجموعات التي لا يمكن وضعها كتناظر أحادي . تم تعميم مبدأ بيت الحمام للتطبيقات الاحتمالية بحيث أنه إذا وُضع عدد (ن) من الحمام بشكل عشوائي في عدد (م) من بيوت الحمام مع احتمال منتظم م/1 فإن بيت حمام واحد على الأقل سيحتوي على اكثر من حمامة واحدة مع احتمال1- م! / ](م-ن)!م^ن[  . لنفرض بعض الأمثلة التي من الممكن أن تبرهن نتائج غير بديهية .

نتيجةً لمبدأ بيت الحمام فإنه لابد من وجود شخصان على الأقل في مدينة نيويورك لهما نفس عدد الشعر على رؤوسهم ، لنعتبر الشعر يمثل بيت الحمام والناس يمثلون الحمام ،في مدينة نيويورك أكثر من 8 ملاين شخص وفي رأس الإنسان أقل بكثير من مليون شعرة ،وبالتالي سيظهر شخصان على الأقل لديهما نفس عدد الشعرات على رؤوسهم. و إذا كانت ورقة نقدية من فئة دولار ملونة بالأزرق والأحمر على إحدى الأوجه ، فهل من الممكن دائما إيجاد نقطتين من نفس اللون على بعد إنش واحد بالضبط في هذا الوجه ، مهما كان الوجه ملون؟

و للحل ارسم مثلث متساوي الأضلاع طول حوافه إنش واحد .اعتبر الألوان هي بيوت الحمام ورؤوس المثلث هي الحمام .على الأقل اثنين من الرؤوس يجب أن تكون من نفس اللون و هذا يثبت وجود نقطتين من نفس اللون على بعد إنش واحد بالضبط .

أفنان عبدالخالق الغامدي- ساره الرويلي .

—————————————————————————-

5- تخمين بيبرباج

لودفيغ جورج الياس  بيبرباج (1886-1982)- لويس دي برانج دي بوشيا – 1932

يرتبط تخمين بيبرباج  بشخصيتين نابضتين بالحيوية : عالم الرياضيات  Ludwig bieberbach النازي النشط الذي وضع الحدس عام 1916م ، و الفرنسي الاميركي Louis de Branges الرياضي الوحيد الذي أثبت التخمين عام 1984م ،على الرغم من أن بعض علماء الرياضيات كانوا في البداية مشككين لعمل برانج لأنه قد أعلن في السابق بعض النتائج الخاطئة .

كتب المؤلف كارل صباغ عن دي برانج : قد لا يكون مهووسا  ولكنه غريب الأطوار ،  قال لي : “علاقتي مع زملائي كارثية “، ويبدو أنه ترك أثرا من الساخطين الغاضبين وحتى الزملاء المزدرين من خلفه لأنه لم يكن يقدّم تنازلات للطلبة و الزملاء الذين ليسوا من نفس الحقل الذي يعمل به .

بدأ بيبرباخ العمل كمحاضر خاص في جامعة كونيغسبرغ في عام 1910 و التي دمّرت أحد مبانيها لاحقا في الحرب العالمية الثانية .

كان بيبرباخ  نازي ناشط و شارك في قهر زملاءه اليهود بما فيهم الرياضيون الألمان مثل Edmund Landau و Issai Schur .

قال بيبرباج أن “ممثلي  الأعراق المختلفة من المتطرفين لا يختلطون كما الطلاب و الأساتذه .. أجد من المستغرب أن اليهود مازالوا أعضاء في اللجان الأكاديمية.”

ينص مبدأ تخمين بيبرباخ على أنه إذا حققت دالة ارتباط أحادي بين نقاط دائرة الوحدة و نقاط منطقة مترابطة بشكل بسيط لمستوى، فإن معاملات متسلسلة القوى التي تمثل الدالة لن تكون أبدا أكبر من القوى المناظرة . قد تكون المنطقة المترابطة البسيطة  معقده نوعا ما ولكنها لا تحتوي أي ثقوب .

يصف دي برانج أسلوبه الرياضي بأنه “عقلي ليس مرن جدا ، أركّز على شيء واحد ، و ليس لدي قدرة الاحتفاظ بالصورة الشاملة ، إذا أهملت شيئا  فيجب أن أكون حذرا جدا مع نفسي حتى لا أصاب بأي نوع من الإكتئاب …”

يعدّ تخمين بيبرباخ مهمًّا إلى حد ما  حيث شكّل تحديا لعلماء الرياضيات مدة 68 سنة ، كما كان ملهما لأبحاث هامة خلال تلك الفترة الزمنية.

سامية العبوش-تسنيم العقا-ندى الزقرتي.

————————————————————————————————-

6-عالم الرياضيات اليوناني ديوكلي واكتشافه للرسم البياني السيسويد

(240 قبل الميلاد – 180 قبل الميلاد)

تم اكتشاف سيسويد ديوكلي من قبل عالم الرياضيات اليوناني ديوكلي ، حوالي عام 180 قبل الميلاد أثناء محاولاته استخدام خصائصها الهامة الملحوظة لمضاعفة المكعب. يشير “مضاعفة المكعب” إلى التحدي الشهير والقديم لإنشاء مكعب له ضعف حجم مكعب معطى أصغر ، وهو ما يعني أن للمكعب الأكبر حافة تعادل  مرات اكبر من المكعب الاول .كان استخدام العالم ديوكلي  للرسم البياني السيسويد وتقاطعه مع خط مستقيم صحيحا من الناحية النظرية، ولكنه لم يتبع قواعد البناء الاقليدي بشكل صارم والتي تسمح باستخدام فرجار وحافة مستقيمة فقط .

جاء اسم الرسم البياني السيسويد  من تعبير يوناني يعني ” شكل نبات اللبلاب  “. الرسم البياني للمنحنى يمتد إلى ما لا نهاية على طول اتجاهي المحور الصادي مع نتوء واحد . كل من فرعي المنحنى التي تمتد بعيدا عن النتوء تقترب من نفس الخط التقاربي الرأسي، وإذا رسمنا  دائرة تمر  عبر النتوء عند نقطة O و مماسها الخط التقاربي فإن أي خط يربط بين النتوء والنقطة M على السيسويد يمكن تمديده بحيث يتقاطع مع الخط التقاربي في B. طول الامتداد الخطي من C إلى B هو دائما يساوي الطول بين O و M.

ومن المثير للاهتمام أنه يمكن  انشاء السيسويد عن طريق تتبع رأس يتحرك دون الانزلاق لقطع مكافئ على قطع مكافئ ثان له نفس القياس . وقد فتن العالم ديوكلي  بالمنحنيات المعروفة باسم القطوع المخروطية، وناقش في عمله المسمى بالمرايا المحروقة النقطة المحورية لقطع مكافئ. كان واحدا من أهدافه العثور على سطح المرآة التي تركز على أكبر قدر ممكن من الحرارة عندما يتم وضعها في ضوء الشمس.

رنا هزازي-شموخ الكبيبة- نوف القرني