الأستاذ الدكتور/ عثمان عشّي

قسم الرياضيات والإحصاء، جامعة الملك فهد للبترول والمعادن

echi@kfupm.edu.sa

الدكتور عثمان عشّي حصل على شهادة دكتوراه في الرّياضيات عام 1990، ثمّ شهادة دكتواره دولة في العلوم الرّياضيّة من جامعة تونس المنار عام 1993. كما حصل على درجة التأهيل لتسيير البحوث من جامعة آكس مرسيليا فرنسا عام 2001. تولّى الدكتور عشّي مهمّة نائب رئيس الجمعية التونسية للرياضيات لمدّة سنتين، و عيّن برتبة أستاذ دكتور بجامعة تونس المنار من عام 2001 حتى الآن كما أشرف الدكتور عشّي على 8 رسائل دكتوراه و 12 رسالة ماجستير في الرّياضيات تشمل الجبر، التبّولوجيا و نظرية الأعداد .للدكتور عشّي حوالي 55 بحثا في مجلّات علميّة محكّمة .


 

 

حول الحُجج والمغالطات من وجهة نظر المنطق الرّياضي

الدكتور عثمان عشي

قسم الرياضيات والإحصاء

جامعة الملك فهد للبترول والمعادن

يعتبر المنطق الرّياضي أساس علوم الرّياضيات، كما أنّ له عدّة تطبيقات تشمل الفلسفة وعلوم الحاسب الآلي وكلّ العلوم الصّحيحة.

سنتعرّض في هذا المقال إلى مفهوم الحجّة والمغالطة، ونعطي بعض الأمثلة على الحُجج الشّائعة والتي لها  دور مهم في طُرق الاستدلال سواء في الرّياضيات أو الفلسفة أو غيرها من العلوم أو حتّى في الحياة العامَّة.

العبارات ونفيها

في البداية، يجدر بالذّكر أنّ كلّ جملة خبريّة يمكن الحكم عليها بالصّواب أو الخطأ بحيث لا تكون خاطئة وصائبة في نفس الوقت تُسمّى عبارة“(statement) .

 إذا كانت الجملة الخبرية صائبة فإنّها   تسمّى عبارة صائبة“(true statement)، وإذا كانت خاطئة فإنّها تسمّى عبارة خاطئة“(false statement).

الجمل غير الخبرية (الإنشائيةلا تُعتبر عبارات، على غرار جمل الاستفهام أو الأمر أو التعجّب، كأن نقول مثلا ما أجمل الطّقس هذا الصّباح!” أو أغلق هاتفك الجوَّال حالّا” أو ما خطبك يا عمرو؟“.

لكلّ عبارة يمكننا تكوين ما يسمّى بجدول الصّواب كما يلي:

1

وترمز الحروف T (true)و F (false)إلى قيمة الصّواب (T: يعني صائب وF: يعني خاطئ).

أّمّا بالنسبة لنفي العبارة فانّه يُرمز إليه بالعبارة 2 أو 3

والتي تُقرأ نفي P” أو ليس P” أو لا P”. ويكون النّفي صوابا إذا كانت العبارة خاطئة والعكس بالعكس.فمثلا تونس ليست دولة عربية” هي عبارة خاطئة تمثّل نفي العبارة الصّحيحة تونس دولة عربية“.

يكون جدول الصّواب لنفي العبارة P كالآتي:

4

الرّبط بين العبارات

لتكوين عبارات جديدة، يمكن الاعتماد على الرّبط بين العبارات باستعمال الرّوابط: “و، أو“. فإذا كان لدينا عبارتان 5

فانّه يمكن تكوين عطف العبارتين وQ” والتي تكون صائبة إذا كانت العبارتان صائبتين وتكون خاطئة في ما عدا ذلكويرمز لها  كالآتي 6

كما يمكننا تكوين فصل العبارتين “P أو Q” والتي تكون خاطئة إذا كانت العبارتان خاطئتين وصائبة في ما عدا ذلك.

ويرمز لها  كالآتي 7

بحيث نتحصّل على جداول الصّواب الآتية:

 

8

العبارات الشّرطيّة

لدراسة العبارات الشّرطيّة دور مركزي في معرفة مدى صحّة الحُجج في أي برهان. لتكن P، عبارتين، فانّ العبارة إذا كان Pفانّ Q” تسمّى عبارة شرطيّة(conditional statement) 

وتعريفها المنطقي هو 9

 إذا رمزنا لها كالآتي 10

فإنّنا نتحصّل على جدول الصّواب التّالي:

11

فمثلا: “إذا كان واحد يساوي اثنان فإنّ العسل مرّ كالعلقمهي عبارة صحيحة منطقيا لأنّ واحد يساوي اثنانعبارة خاطئة.

إذا عطفنا العبارتين 10و 12

فإنّنا نتحصّل على العبارة P إذا وفقط إذا Q

(biconditional statement) و نرمز لها كالآتي 13

و نتحصّل على جدول الصّواب التّالي:

14

 

التّوتولوجيا (التّحصيل الحاصل)

نقول بأنّ عبارة ما بسيطة إذاكان ليسبالإمكان تجزئتها إلى أكثر من عبارة. وتُسمى العبارة مركّبة إذا نتجت عن ربط عبارتين أو أكثر باستخدام بعض أدوات الرّبط الآتية: و، أو، إذا كان فان، إذا وفقط إذا ….

نُسمّي توتولوجيا (tautology) كلّ عبارة مركّبة تكون صائبة مهما كانت قيم الصّواب لمكوّناتها الجزئية، أي أنّ جدول صوابها لا يحتوي إلّا على القيمة T. أمّا إذا كانت خاطئة مهما كانت قيم الصّواب لمكوّناتها الجزئية، فإنها تُسمى تناقض. نرمز لأي توتولوجيا بالرّمز T (tautology) و لأي تناقض بالرّمز C(contradiction).

مثلا، إذا كانت P عبارة، فانّ 15

تمثّل توتولوجيا، أمّا 16

فإنّها تمثّل تناقض، وذلك بالنّظر لجدول الصّواب الأتي:

 18

لتكن P و Q عبارتين، فإنّنا نقول أنّهما متكافئتين منطقيّا(logically equivalent) إذا كانت العبارة 13

توتولوجيا (أي أن العبارتين لهما نفس جدول الصّواب)، و نرمز لهذا التّكافؤ كالآتي 20

 

نورد هنا بعض الأمثلة عن التّكافؤ المنطقي:

20

21

 

الحجج والمغالطات

يمكن تعريف المنطق بأنّه العلم الذي يُعنى بالدّراسة المنهجيّة للتّعامل مع مبادئ الاستدلال. لكن عملية الاستدلال تحتاج إلى حجج، فلنبدأ بالتّعريف الدقيق للحُجّة.

تتكوّن الحجّة المنطقيّة من معطيات ونتيجة. تحديدا، إذا كانت 22

عبارات فانّ العبارة 24

تُسمّى حجّة(argument) . و تُسمّى العبارات 25

معطيات (premises)، و يُطلق على إسم النّتيجة(conclusion) .

يمكن كتابة الحجّة الساّبقة على الشّكل الآتي:

26

: ∴ يرمز إلى وبالتّاليأو إذن“(therefore).

دعنا نذكّر بالمثال الشّائع:

كلّ البشر هالكون.
سقراط من البشر.
————————–
وبالتّالي، فانّ سقراط هالك.

من الواضح أنّ المعطيات في المثال السّابق هي كلّ البشر هالكونوسقراط من البشر،ممّا يؤدي إلى النّتيجة سقراط هالك“.

تُسمّى العبارة 27

حُجّة سليمة (valid argument) إذا كانت توتولوجيا. هذا يعني أنّه إذا كانت كلّ المعطيات صحيحة فانّه لابد أن تكون النّتيجة صحيحة أيضاً(أي أنّ المعطيات تدعم النّتيجة فعلا). كلّ حجّة غير سليمة تسمّى حجّة واهية(invalid argument) .

يجدر بالذّكر انّه في غالب الأحيان يمكن الجزم بسلامة حجّة ما بواسطة دراسة شكل الحجّة بدون النّظر لمحتواها.

سنعطي الآن سلسلة من الحُجج التي لها دور هام في عمليات الاستدلال.

حجّة الاستلزام (modus ponens)

يكون شكل هذه الحجّة كالآتي:

28

وهي حجّة سليمة بالنّظر الآتي:

29

مثال ذلك:

إذا شاخ الرّجل فانّ شعره يشتعل شيبا.
شاخ الرّجل.
———————————
وبالتّالي، فانّ شعره يشتعل شيبا.

حجة نفي النتيجة (modus tollens)

يكون شكل هذه الحجّة كالآتي:

30

وهي حجّة سليمة إذ يمكن تعويض العبارة الشّرطية 12بالعبارة 31

المكافئة لها منطقيا، ثم استعمال حجّة الاستلزام.

كأن نقول مثلا:

إذا شاخ الرّجل فان رأسه يشتعل شيبا.
لم يشتعل رأس الرّجل شيبا.
———————————–
وبالتّالي، فانّ الرّجل لم يشخ.

فيما يلي سنتعرّض لنوعين من الحُجج يتبعانالقياس “syllogism، والقياسهو نوع من الاستدلال
وضعه أرسطو، وعرّفه أنه قول إذا وضعت فيه أشياء أكثر من واحد لزم شيء آخر من
الاضطرار لوجود تلك الأشياء الموضوعة بذاتها
.

القياس الافتراضي(hypothetical syllogism)

يكون شكل هذه الحجّة كالآتي:

32

وهو على شاكلة الحجّة الشّهيرة:

كلّ البشر هالكون.
سقراط من البشر.
———————–
وبالتّالي، فانّ سقراط هالك.

يمكن التّحقّق من سلامة الحجّة بالنّظر إلى الآتي:

33

قياس (disjunctive syllogism)

يكون شكل هذه الحجّة كالآتي:

34

مثال ذلك:

إمّا أنّنا سنذهب إلى الشّاطئ أو إلى الاستراحة.
لن نذهب إلى الشاطئ.
——————————————
وبالتّالي، سنذهب إلى الاستراحة.

مكن التّحقّق من سلامة هذه الحجّة باستعمال جدول صواب. هنا، سنثبت سلامة هذه الحجّة باستعمال خاصيّات التّكافؤ المنطقي.

علينا أن نثبت أن العبارة 35

تمثّل توتولوجيا.

36

حُجّة الإحراج البنائي (constructive dilemma)

مثال:

إذاأصاب الأرض قحط، فإنّ العشب سيشحّ.
وإذا هبّت رياح عاتية، فإنّها ستقتلع الأشجار.
إمّا أنّ الأرض أصابها قحط أو أنّه هبّت رياح عاتية.
——————————————–
وبالتّالي، فإنّ العشب سيشحّ أو ستُقتلع الأشجار.

يمكن التّحقّق من سلامة هذه الحجّة باستعمال جدول صواب أو باستعمال خاصيّات التّكافؤ المنطقي.

حجّة الإحراج الهدّام (destructive dilemma)

يكون شكل هذه الحجّة على النّحو التاّلي:

37

مثال ذلك:

إذا أصاب الأرض قحط، فإنّ العشب سيشحّ.
وإذا هبّت رياح عاتية، فإنّها ستقتلع الأشجار.
إمّا أنّ العشب لم يشح أو أنّ الأشجار لم تقتلع.
—————————————————-
وبالتّالي، فإنّ الأرض لم يصبها قحط أو انّه لم تهب رياح عاتية.

المغالطات المنطقية

نُسمّي مغالطة كلّ خطأ في حجّة ما، يعتقد غالبية النّاس أنّها سليمة. يجدر بالذّكر أنّ معظم المغالطات لها قيمة الصّواب F في موضع واحد من جدول صوابها.

سنكتفي بذكر ثلاث مغالطات يقع فيهم عامّة النّاس وحتّى طلبة الجامعات.

 

مغالطة الاعتماد على النّتائج

يكون شكل هذه الحجّة على النّحو التّالي:

38

إذا شاخ الرّجل فانّ رأسه يشتعل شيبا.
اشتعل رأس الرّجل شيبا.
وبالتّالي، فان الرّجل قد شاخ.

هنا يقول المعطى الأول أنّ حدوث P سيؤدّي حتما إلى حدوث Q أمّا المعطى الثّاني فيُبلغ بحدوث Q، و تكون المغالطة المنطقية في استنتاج وقوع الحدث P بسبب وقوع Q(وهو أمر غير صحيح لأن حدوث P ليس السّبب الوحيد لحدوث Q ).

هذه الحجّة واهية بالنّظر إلى جدول الصّواب الآتي:

39

هنا نلاحظ أنّه حسب جدول الصّواب تكون الحجّة خاطئة في حالة واحدة وهو ما يسهل عمليّة المغالطة. عادة ما تلجأ وسائل الاعلام إلى هذا النّوع من المغالطات بُغية التّأثير على الرّأي العام.

مغالطة نفي المعطيات

يكون شكل هذه الحجّة على النّحو التّالي:

40

مثال ذلك:
إذا شاخ الرّجل فانّ رأسه يشتعل شيبا.
لم يشخ الرّجل.
——————————-
وبالتالي، فانّ رأسه لم يشتعل شيبا.

هذه الحجّة غير سليمة بالنّظر إلى جدول الصّواب الآتي:

41

مغالطة أخرى

هناك مغالطة أخرى تستعملها غالبية وسائل الاعلام ويقع في شراكها معظم طلبة الجامعات.

شكل هذه الحجة على النّحو التالي:

42

باستعمال جدول الصّواب يمكن التّحقّق من عدم سلامة هذه الحجّة (يكفي إعطاء P,Q,R القيم الآتية T,T,F على التوالي)

المراجع:

لمزيد من المعلومات حول الحُجج والمغالطات أنصح بقراءة الكتاب الآتي :

Patrick Hurle, A Concise Introduction to Logic (Twelfth Edition), Cengage Learning 2014.